В1. Найдите корни уравнения: \(\frac{x-3}{x-2} + \frac{x-2}{x-3} = 2\frac{1}{2}\).

Решим уравнение \(\frac{x-3}{x-2} + \frac{x-2}{x-3} = 2\frac{1}{2}\).

Пусть \(y = \frac{x-3}{x-2}\), тогда уравнение примет вид:

\(y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}\)

Умножим на \(2y\):

\(2y^2 + 2 = 5y\)

\(2y^2 - 5y + 2 = 0\)

Найдем дискриминант:

\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\)

Найдем корни:

\(y_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2\)

\(y_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Вернемся к замене:

1) \(\frac{x-3}{x-2} = 2\)

\(x - 3 = 2(x - 2)\)

\(x - 3 = 2x - 4\)

\(x = 1\)

2) \(\frac{x-3}{x-2} = \frac{1}{2}\)

\(2(x - 3) = x - 2\)

\(2x - 6 = x - 2\)

\(x = 4\)

Оба корня \(x
eq 2\) и \(x
eq 3\).

Ответ: \(x_1 = 1, x_2 = 4\)