А2. Первый лыжник проходит расстояние 20 км на 20 мин быстрее второго, так как его скорость на 2 км/ч больше. Найдите скорость первого и скорость второго лыжника.

Пусть \(v_1\) - скорость первого лыжника, \(v_2\) - скорость второго лыжника.

Пусть \(t_1\) - время первого лыжника, \(t_2\) - время второго лыжника.

Тогда \(v_1 = v_2 + 2\) км/ч.

Расстояние 20 км. Время выразим в часах. 20 мин = \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\) часа.

\(t_1 = t_2 - \frac{1}{3}\)

\(t_1 = \frac{20}{v_1}\), \(t_2 = \frac{20}{v_2}\)

Подставим:

\(\frac{20}{v_1} = \frac{20}{v_2} - \frac{1}{3}\)

\(\frac{20}{v_2 + 2} = \frac{20}{v_2} - \frac{1}{3}\)

Умножим на \(3v_2(v_2+2)\):

\(60v_2 = 60(v_2+2) - v_2(v_2+2)\)

\(60v_2 = 60v_2 + 120 - v_2^2 - 2v_2\)

\(v_2^2 + 2v_2 - 120 = 0\)

По теореме Виета:

\(v_{2_1} + v_{2_2} = -2\)

\(v_{2_1} \cdot v_{2_2} = -120\)

\(v_{2_1} = -12\)

\(v_{2_2} = 10\)

Скорость не может быть отрицательной, значит, \(v_2 = 10\) км/ч.

\(v_1 = v_2 + 2 = 10 + 2 = 12\) км/ч.

Ответ: скорость первого лыжника 12 км/ч, скорость второго лыжника 10 км/ч.