В компании из 20 человек 15 пользуются социальной сетью «Одноклассники», а 10 — социальной сетью «ВКонтакте». Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) В этой компании найдётся хотя бы 5 человек, пользующихся обеими сетями. 2) Найдётся 10 человек из этой компании, которые не пользуются ни сетью «Одноклассники», ни сетью «ВКонтакте». 3) Не более 10 человек из этой компании пользуются обеими сетями. 4) В этой компании не найдётся ни одного человека, пользующегося только сетью «Одноклассники». В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение:

Пусть О — множество пользователей сети «Одноклассники», В — множество пользователей сети «ВКонтакте». Известно, что всего в компании 20 человек. |О| = 15, |В| = 10.

По формуле включений-исключений:

\( |O \cup B| = |O| + |B| - |O \cap B| \)

\( |O \cup B| \le 20 \)

\( 15 + 10 - |O \cap B| \le 20 \)

\( 25 - |O \cap B| \le 20 \)

\( |O \cap B| \ge 25 - 20 \)

\( |O \cap B| \ge 5 \)

Утверждение 1: Верно. Найдётся хотя бы 5 человек, пользующихся обеими сетями.

Теперь найдём максимальное и минимальное количество людей, не пользующихся ни одной из сетей.

Максимальное число людей, не пользующихся ни одной сетью: \( 20 - |O \cup B| \). Чтобы оно было максимальным, \( |O \cup B| \) должно быть минимальным. Минимальное \( |O \cup B| \) равно максимальному из |О| и |В|, то есть 15. Тогда \( 20 - 15 = 5 \). Это означает, что не более 5 человек не пользуются ни одной сетью.

Минимальное число людей, не пользующихся ни одной сетью: \( 20 - |O \cup B| \). Чтобы оно было минимальным, \( |O \cup B| \) должно быть максимальным. Максимальное \( |O \cup B| \) равно 20 (если все пользуются хотя бы одной сетью). Тогда \( 20 - 20 = 0 \). Значит, не более 5 человек не пользуются ни одной из сетей.

Утверждение 2: Неверно. Не более 5 человек не пользуются ни одной сетью. 10 человек — это слишком много.

Утверждение 3: Верно. Максимальное число тех, кто пользуется обеими сетями, равно \( \min(|O|, |B|) = \min(15, 10) = 10 \). Но мы уже нашли, что \( |O \cap B| \ge 5 \). Значит, не более 10 человек пользуются обеими сетями.

Утверждение 4: Неверно. Число людей, пользующихся только «Одноклассниками» равно \( |O| - |O \cap B| \). Минимальное значение \( |O \cap B| \) равно 5. Тогда \( 15 - 5 = 10 \) человек пользуются только «Одноклассниками».

Ответ: 13.