4 В единичном кубе ABCDABCD₁ на ребре DD₁ выбрана точка Е так, что DE:ED₁=1:2. Вычислите косинус угла между прямыми АЕ и СЕ. (0-2баллов)

Пусть ребро куба равно a=1, тогда DE=1/3, ED₁=2/3.

Координаты точек:

A(0;0;0), C(1;1;0), E(0;0;1-2/3) = (0;0;1/3).

Вектор АЕ = (0;0;1/3) - (0;0;0) = (0;0;1/3)

Вектор CE = (0;0;1/3) - (1;1;0) = (-1;-1;1/3)

cos(АЕ,СЕ) = (АЕ*СЕ)/(|АЕ|*|СЕ|) = (-1*0)+(-1*0)+(1/3*1/3) / (√(0²+0²+(1/3)²) * √((-1)²+(-1)²+(1/3)²)) = (1/9) / (√(1/9) * √(1+1+1/9)) = (1/9) / (1/3 * √(19/9)) = (1/9) / (1/3 * √19 / 3) = (1/9) / (√19 / 9) = 1/ √19 = √19/19

Ответ: √19/19