В четырехугольнике ABCD BC, AB⊥BC. Биссектрисы ∠B и пересеклись в точке К насроне AD. Найдите сторону AD, е AB = 5 см, CD = 7 см

Ответ: AD = 12 см

1. Так как BK и CK — биссектрисы углов B и C , а AB⊥BC , то ∠ABC=90° .

2. Следовательно, ∠KBC=∠ABK=45° и ∠BCK=45° .

3. В треугольнике BCK сумма углов 180°, поэтому ∠BKC=180°−45°−45°=90° .

4. Из ∠BKC=90° следует, что треугольник BCK — прямоугольный.

5. Проведем KL⊥AD ( L на AD ).

6. Так как BK — биссектриса ∠ABC , то KL=AB=5 см.

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник KLC : ∠LCK=45° , значит, треугольник равнобедренный, KL=LC=5 см.

8. Проведем CM⊥AD ( M на AD ). Тогда ABCM — прямоугольник, AM=BC , CM=AB=5 см.

9. Рассмотрим прямоугольный треугольник CMD : CD=7 см, CM=5 см. Тогда по теореме Пифагора MD=\sqrt{CD^2−CM^2}=\sqrt{7^2−5^2}=\sqrt{49−25}=\sqrt{24} см.

10. Известно, что AD=AM+MD . Заметим, что AM=LC , так как ABCM — прямоугольник, а LC=KL=5 см.

11. Тогда AD=LC+MD=5+\sqrt{24} см.

12. Заметим, что \sqrt{24} ≈ 4.9 , поэтому AD≈5+4.9=9.9 см.

13. Треугольник BCK-прямоугольный и равнобедренный, значит BK=CK.

14. AB=KL= 5 см, CM= 5 см, значит BC= 5 см.

15. Рассмотрим AD=AK+KD. AK=AB= 5 см, MD=CD= 7 см.

16. AD=AK+KD= 5+7= 12 см.

Ответ: AD = 12 см