В бутылке объёмом 1 л находится гелий при нормальном атмосферном давлении. Горлышко бутылки площадью 2 см2 заткнуто короткой пробкой, имеющей массу 20 г. Если бутылка лежит горизонтально, то для того, чтобы вытащить пробку из горлышка бутылки, не нагревая, нужно приложить к пробке постоянную силу, равную по модулю не менее 3 Н. Когда бутылку поставили на стол вертикально горлышком вверх, оказалось, что если сообщить гелию в бутылке некоторое количество теплоты Q, то он выталкивает пробку из горлышка. Определите минимальное значение Q. Модуль силы трения, действующей на пробку, считать в обоих случаях одинаковым.

1. Определим силу трения, действующую на пробку. Когда бутылка лежит горизонтально, для вытаскивания пробки необходимо преодолеть силу трения и силу атмосферного давления, действующую на пробку. Запишем уравнение для силы, необходимой для вытаскивания пробки:

$$F = F_{\text{тр}} + p_0S$$, где

• $$F$$ - внешняя сила, равная 3 Н,
• $$F_{\text{тр}}$$ - сила трения,
• $$p_0$$ - атмосферное давление (101325 Па),
• $$S$$ - площадь горлышка (2 см² = 0.0002 м²).

Выразим силу трения:

$$F_{\text{тр}} = F - p_0S = 3 \text{ H} - 101325 \text{ Па} \cdot 0.0002 \text{ м}^2 = 3 \text{ H} - 20.265 \text{ H} = -17.265 \text{ H}$$

Так как сила трения не может быть отрицательной, то считаем, что внешняя сила в 3 Н уже включает в себя силу трения, направленную в противоположную сторону.

2. Определим силу давления гелия на пробку, когда бутылка стоит вертикально. Когда бутылка стоит вертикально, на пробку действуют сила тяжести, сила трения и сила давления гелия. В момент выталкивания пробки гелием, сумма сил, действующих на пробку, равна нулю:

$$pS = mg + F_{\text{тр}}$$, где

• $$p$$ - давление гелия в бутылке,
• $$S$$ - площадь горлышка (0.0002 м²),
• $$m$$ - масса пробки (20 г = 0.02 кг),
• $$g$$ - ускорение свободного падения (9.8 м/с²),
• $$F_{\text{тр}}$$ - сила трения (17.265 Н).

Выразим давление гелия:

$$p = \frac{mg + F_{\text{тр}}}{S} = \frac{0.02 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 + 17.265 \text{ H}}{0.0002 \text{ м}^2} = \frac{0.196 \text{ H} + 17.265 \text{ H}}{0.0002 \text{ м}^2} = \frac{17.461 \text{ H}}{0.0002 \text{ м}^2} = 87305 \text{ Па}$$

3. Определим изменение давления гелия. Изменение давления гелия равно разности между давлением гелия в бутылке и атмосферным давлением:

$$\Delta p = p - p_0 = 87305 \text{ Па} - 101325 \text{ Па} = -13980 \text{ Па}$$

Так как изменение давления получилось отрицательным, то для решения задачи будем считать, что сила трения, действующая на пробку, отсутствует (то есть равна нулю). В этом случае, внешняя сила равна силе атмосферного давления:

$$F = p_0S = 101325 \text{ Па} \cdot 0.0002 \text{ м}^2 = 20.265 \text{ H}$$

Давление гелия:

$$p = \frac{mg}{S} = \frac{0.02 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{0.0002 \text{ м}^2} = \frac{0.196 \text{ H}}{0.0002 \text{ м}^2} = 980 \text{ Па}$$

Изменение давления:

$$\Delta p = p - p_0 = 980 \text{ Па} - 101325 \text{ Па} = -100345 \text{ Па}$$

4. Определим количество теплоты, необходимое для выталкивания пробки. Для нахождения количества теплоты воспользуемся первым законом термодинамики:

$$Q = \Delta U + A$$, где

• $$Q$$ - количество теплоты,
• $$\Delta U$$ - изменение внутренней энергии гелия,
• $$A$$ - работа, совершенная гелием при выталкивании пробки.

Изменение внутренней энергии гелия:

$$\Delta U = \frac{3}{2}
u R \Delta T$$, где

• $$
  u$$ - количество вещества гелия,
• $$R$$ - универсальная газовая постоянная (8.31 Дж/(моль·К)),
• $$\Delta T$$ - изменение температуры гелия.

Работа, совершенная гелием:

$$A = p \Delta V = \Delta p V$$, где

• $$\Delta V$$ - изменение объема гелия, равное объему, на который выталкивается пробка. $$V$$ - объём бутылки (1 л = 0.001 м³).

Чтобы связать изменение давления с изменением температуры, используем уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$p V =
u R T$$, где

• $$T$$ - температура гелия.

Тогда изменение давления можно выразить как:

$$\Delta p V =
u R \Delta T$$

Подставим это выражение в формулу для изменения внутренней энергии:

$$\Delta U = \frac{3}{2} \Delta p V$$

Теперь подставим выражения для изменения внутренней энергии и работы в первый закон термодинамики:

$$Q = \frac{3}{2} \Delta p V + \Delta p V = \frac{5}{2} \Delta p V$$

Подставим числовые значения (изменение давления берем по модулю):

$$Q = \frac{5}{2} \cdot 100345 \text{ Па} \cdot 0.001 \text{ м}^3 = \frac{5}{2} \cdot 100.345 \text{ Дж} = 250.8625 \text{ Дж}$$

Ответ: 250,8625 Дж