увидел в архив... ( скл., п.), любовался брошь...

Применим Протокол А (Орфография).
Определим орфограмму: безударная гласная в корне слова.
Сформулируем правило: Чтобы проверить безударную гласную, нужно изменить форму слова или подобрать однокоренное слово так, чтобы гласный стал ударным.
Разберем слово:
архив...
корень - архив
Подберем проверочное слово: архивы
Сравним варианты написания.
Вывод: в слове архиве пишется буква и, так как в проверочном слове архивы она стоит под ударением.

Применим Протокол А (Орфография).
Определим орфограмму: мягкий знак после шипящих в сущ. ж.р. ед.ч.
Сформулируем правило: В именах существительных женского рода единственного числа после шипящих пишется мягкий знак.
Разберем слово:
брошь - сущ., ж.р., ед.ч.
Вывод: после шипящего ш пишется мягкий знак.

Вставим слова в предложение:
увидел в архиве ( скл., п.), любовался брошью ( скл., п.),

Ответ: увидел в архиве ( скл., п.), любовался брошью ( скл., п.),