Упростите выражение: при а > 0, b > 0; \(\frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{b^8 a^3}}\)

Решение:

1. Записываем выражение под одним корнем: \( \sqrt[4]{\frac{a}{b^8 a^3}} \).
2. Упрощаем дробь под корнем: \( \sqrt[4]{\frac{1}{b^8 a^2}} \).
3. Применяем свойство корня \( \sqrt[n]{\frac{1}{x}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x}} \): \( \frac{1}{\sqrt[4]{b^8 a^2}} \).
4. Упрощаем знаменатель: \( \sqrt[4]{b^8 a^2} = \sqrt[4]{(b^2)^4 \cdot a^2} = b^2 \sqrt[4]{a^2} \).
5. Так как \( \sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a} \), то знаменатель равен \( b^2 \sqrt{a} \).
6. Окончательный вид выражения: \( \frac{1}{b^2 \sqrt{a}} \).

Ответ: \(\frac{1}{b^2 \sqrt{a}}\).