Упростите выражение \( \frac{x^{18} · (y^8)^2}{(xy)^{16}} \) и найдите его значение при \( x = \sqrt{47}; y = \sqrt{58} \).

Решение:

Сначала упростим данное выражение:

\( \frac{x^{18} · (y^8)^2}{(xy)^{16}} \)

Используем свойства степеней: \( (a^m)^n = a^{m · n} \) и \( (ab)^n = a^n b^n \).

\( (y^8)^2 = y^{8 · 2} = y^{16} \).

\( (xy)^{16} = x^{16} y^{16} \).

Подставим упрощённые выражения обратно в дробь:

\( \frac{x^{18} · y^{16}}{x^{16} y^{16}} \)

Теперь используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\( \frac{x^{18}}{x^{16}} = x^{18-16} = x^2 \).

\( \frac{y^{16}}{y^{16}} = y^{16-16} = y^0 = 1 \) (при условии, что \( y \neq 0 \)).

Таким образом, упрощённое выражение равно:

\( x^2 · 1 = x^2 \).

Теперь найдём значение выражения при \( x = \sqrt{47} \) и \( y = \sqrt{58} \).

Нам нужно найти значение \( x^2 \), поэтому значение \( y \) не используется.

\( x^2 = (\sqrt{47})^2 \).

По определению квадратного корня, \( (\sqrt{a})^2 = a \) для \( a \ge 0 \).

\( (\sqrt{47})^2 = 47 \).

Ответ: 47