Упростите выражение: \((b^2 + 8b + 16) \cdot \left(\frac{7}{b+4} + \frac{8}{b^2 - 16} - \frac{1}{b-4}\right)\)

Решение:

Сначала упростим выражение в скобках. Приведём дроби к общему знаменателю \(b^2 - 16 = (b-4)(b+4)\).

\[ \frac{7}{b+4} + \frac{8}{(b-4)(b+4)} - \frac{1}{b-4} = \frac{7(b-4)}{(b-4)(b+4)} + \frac{8}{(b-4)(b+4)} - \frac{1(b+4)}{(b-4)(b+4)} \]

Сложим и вычтем числители:

\[ \frac{7b - 28 + 8 - (b+4)}{(b-4)(b+4)} = \frac{7b - 28 + 8 - b - 4}{(b-4)(b+4)} = \frac{6b - 24}{(b-4)(b+4)} \]

Вынесем общий множитель 6 из числителя:

\[ \frac{6(b - 4)}{(b-4)(b+4)} \]

Сократим дробь на \((b-4)\), получим:

\[ \frac{6}{b+4} \]

Теперь исходное выражение будет иметь вид:

\[ (b^2 + 8b + 16) \cdot \frac{6}{b+4} \]

Заметим, что \(b^2 + 8b + 16\) — это полный квадрат: \((b+4)^2\).

\[ (b+4)^2 \cdot \frac{6}{b+4} \]

Сократим \((b+4)\):

\[ (b+4) \cdot 6 = 6(b+4) \]

Ответ: \(6(b+4)\)