Упростите рациональное алгебраическое выражение: \(\frac{\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\)

Решение:

Приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю:

Числитель: \(\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = \frac{x^3 + y^3}{xy}\)

Знаменатель: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy}\)

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\[ \frac{\frac{x^3 + y^3}{xy}}{\frac{y+x}{xy}} = \frac{x^3 + y^3}{xy} \cdot \frac{xy}{y+x} = \frac{x^3 + y^3}{x+y} \]

Разложим числитель на множители по формуле суммы кубов: \(x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)\)

\[ \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x+y} = x^2 - xy + y^2 \]

Ответ: \(x^2 - xy + y^2\)