Упростите выражение: a) ⁴√75 + √2(√8 - √24); б) (√8 - √5)².

Решение:

а) ⁴√75 + √2(√8 - √24)

1. Извлечём корни из чисел, где возможно: \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \), \( \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \).
2. Подставим в выражение: \( \sqrt{75} + \sqrt{2}(2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}) \).
3. Упростим: \( \sqrt{25 \cdot 3} + \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6} = 5\sqrt{3} + 2 \cdot 2 - 2\sqrt{12} \).
4. Далее упростим \( \sqrt{12} \): \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \).
5. Подставим обратно: \( 5\sqrt{3} + 4 - 2(2\sqrt{3}) = 5\sqrt{3} + 4 - 4\sqrt{3} \).
6. Приведём подобные слагаемые: \( (5\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) + 4 = \sqrt{3} + 4 \).

б) (√8 - √5)²

1. Раскроем скобки по формуле квадрата разности \( (a-b)² = a² - 2ab + b² \): \( (\sqrt{8})² - 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})² \).
2. Вычислим: \( 8 - 2\sqrt{40} + 5 \).
3. Упростим \( \sqrt{40} \): \( \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} \).
4. Подставим обратно: \( 8 - 2(2\sqrt{10}) + 5 = 8 - 4\sqrt{10} + 5 \).
5. Приведём подобные слагаемые: \( 13 - 4\sqrt{10} \).

Ответ: а) \( 4 + \sqrt{3} \); б) \( 13 - 4\sqrt{10} \).