От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 110 км, первый теплоход отправился с постоянной скоростью, а через 1 ч после этого следом за ним, со скоростью на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым.

1. Обозначим переменные:

• Пусть $$v_1$$ — скорость первого теплохода (км/ч).


• Пусть $$v_2$$ — скорость второго теплохода (км/ч).


• Пусть $$t_1$$ — время первого теплохода (ч).


• Пусть $$t_2$$ — время второго теплохода (ч).

Расстояние $$S = 110$$ км.

2. Составим уравнения по условию задачи:

• По условию, $$v_2 = v_1 + 8$$.


• Первый теплоход отправился раньше на 1 час, значит $$t_1 = t_2 + 1$$.


• Формула расстояния: $$S = v \times t$$.

Для первого теплохода: $$110 = v_1 \times t_1$$.

Для второго теплохода: $$110 = v_2 \times t_2$$.

3. Подставим известные соотношения в уравнения:

Из $$110 = v_1 \times t_1$$ выразим $$t_1 = \frac{110}{v_1}$$.

Из $$110 = v_2 \times t_2$$ выразим $$t_2 = \frac{110}{v_2}$$.

Теперь подставим $$t_1$$ и $$t_2$$ в уравнение $$t_1 = t_2 + 1$$:

\[ \frac{110}{v_1} = \frac{110}{v_2} + 1 \]

Подставим $$v_1 = v_2 - 8$$ (так как $$v_2 = v_1 + 8$$):

\[ \frac{110}{v_2 - 8} = \frac{110}{v_2} + 1 \]

4. Решим полученное уравнение относительно $$v_2$$:

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{110}{v_2 - 8} = \frac{110 + v_2}{v_2} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ 110 v_2 = (v_2 - 8)(110 + v_2) \]

Раскроем скобки:

\[ 110 v_2 = 110 v_2 + v_2^2 - 880 - 8 v_2 \]

Упростим уравнение, сократив $$110 v_2$$ с обеих сторон:

\[ 0 = v_2^2 - 8 v_2 - 880 \]

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта ($$D = b^2 - 4ac$$):

\[ v_2^2 - 8 v_2 - 880 = 0 \]

$$a=1$$, $$b=-8$$, $$c=-880$$.

\[ D = (-8)^2 - 4(1)(-880) = 64 + 3520 = 3584 \]

Найдём квадратный корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{3584} \]

Чтобы упростить $$\sqrt{3584}$$, найдём множители: $$3584 = 64 \times 56 = 64 \times 8 \times 7 = 512 \times 7$$. Это не даёт полного квадрата. Попробуем найти больший квадратный множитель: $$3584 = 256 \times 14$$.

\[ \sqrt{3584} = \sqrt{256 \times 14} = 16\sqrt{14} \]

Теперь найдём корни $$v_2$$ по формуле $$v_{2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$:

\[ v_{2} = \frac{8 \pm 16\sqrt{14}}{2} \]

\[ v_{2} = 4 \pm 8\sqrt{14} \]

Так как скорость не может быть отрицательной, мы рассматриваем только положительный корень.

\[ v_2 = 4 + 8\sqrt{14} \]

Приблизительное значение $$\sqrt{14}$$ равно $$3.74$$.

\[ v_2 \approx 4 + 8 \times 3.74 = 4 + 29.92 = 33.92 \]

5. Проверка:

Если $$v_2 \approx 33.92$$ км/ч, то $$v_1 = v_2 - 8 \approx 25.92$$ км/ч.

$$t_2 = \frac{110}{33.92} \approx 3.24$$ ч.

$$t_1 = \frac{110}{25.92} \approx 4.24$$ ч.

$$t_1 - t_2 \approx 4.24 - 3.24 = 1$$ ч. Это соответствует условию.

Ответ: Скорость второго теплохода составляет $$4 + 8\sqrt{14}$$ км/ч.