6. Упростите √8+4√5-√9-4√5. 7. Упростите √2√6-5-√49+20√6. -6 √7 3 3 5√2 -2 8. Вычислите (7) (7-5/2) + (2) (7-5√2). 50

Ответ:

6. Упростим выражение \[\sqrt{8+4\sqrt{5}}-\sqrt{9-4\sqrt{5}}\]

Представим подкоренные выражения в виде полных квадратов:

\[8+4\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + 2^2 = (\sqrt{5}+2)^2\]

\[9-4\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + 2^2 = (\sqrt{5}-2)^2\]

Тогда исходное выражение:

\[\sqrt{(\sqrt{5}+2)^2} - \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}+2| - |\sqrt{5}-2| = (\sqrt{5}+2) - (\sqrt{5}-2) = \sqrt{5}+2 - \sqrt{5}+2 = 4\]

7. Упростим выражение \[\sqrt{2\sqrt{6}-5} \cdot \sqrt{49+20\sqrt{6}}\]

Представим подкоренное выражение второго корня в виде полного квадрата:

\[49+20\sqrt{6} = (5)^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^2 = (5+2\sqrt{6})^2\]

Тогда исходное выражение:

\[\sqrt{2\sqrt{6}-5} \cdot \sqrt{(5+2\sqrt{6})^2} = \sqrt{2\sqrt{6}-5} \cdot |5+2\sqrt{6}| = \sqrt{2\sqrt{6}-5} \cdot (5+2\sqrt{6})\]

Заметим, что \[(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6}) = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\]

Значит, \[\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{6}}}\]

Поэтому \[\sqrt{2\sqrt{6}-5} \cdot (5+2\sqrt{6}) = \sqrt{(2\sqrt{6}-5)(2\sqrt{6}+5)^2} = \sqrt{(2\sqrt{6}-5)} \cdot (5+2\sqrt{6})\]

\[= \sqrt{(2\sqrt{6}-5)(5+2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})} = \sqrt{(-(5-2\sqrt{6}))(5+2\sqrt{6})} \cdot (5+2\sqrt{6})\]

\[=\sqrt{-1} \cdot (5+2\sqrt{6}) = i \cdot (5+2\sqrt{6})\]

8. Вычислим значение выражения\[\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{7}}{-7}}\right)^{-6} \cdot \left(\sqrt{\frac{5\sqrt{2}}{50}}\right)^3 + \left(\frac{7-5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)^{-2} \cdot (7-5\sqrt{2})^2\]

Преобразуем первое слагаемое:

\[\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{7}}{-7}}\right)^{-6} \cdot \left(\sqrt{\frac{5\sqrt{2}}{50}}\right)^3 = \left(\frac{\sqrt{7}}{-7}\right)^{-2} \cdot \left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{10}}\right)^3 = \left(\frac{-\sqrt{7}}{7}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{10}}\right)^3 = \frac{49}{7} \cdot \frac{\sqrt[4]{8}}{10\sqrt{10}} = 7 \cdot \frac{\sqrt[4]{8}}{10\sqrt{10}}\]

Преобразуем второе слагаемое:

\[\left(\frac{7-5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)^{-2} \cdot (7-5\sqrt{2})^2 = \frac{2}{(7-5\sqrt{2})^2} \cdot (7-5\sqrt{2})^2 = 2\]

Таким образом, исходное выражение равно \[7 \cdot \frac{\sqrt[4]{8}}{10\sqrt{10}} + 2\]

Ответ: