1. Угол АСО равен 24°. Его сторона СА касается окружности с центром в точке О. Сторона СО пересекает окружность в точках В и D (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим решение задачи №1.

1. Угол АСО - угол между касательной и секущей, проходящей через точки А, В, D окружности. По свойству угла между касательной и секущей, он равен полуразности градусных мер заключенных в нём дуг.

$$∠ACO = \frac{1}{2} (\smile{AD} - \smile{AB})$$

2. Угол АОВ - центральный, опирается на дугу АВ, следовательно, $$∠AOB = \smile{AB}$$.

3. Угол АСО и угол АОВ - внешний угол треугольника АОС, следовательно,

$$∠AOB = ∠ACO + ∠OAC$$

4. Угол ОАС равен углу АСО, так как треугольник АОС - равнобедренный, ОС = ОА как радиусы окружности, следовательно,

$$∠AOB = 2 \cdot ∠ACO = 2 \cdot 24° = 48°$$

5. $$48° = \smile{AB}$$

6. $$24° = \frac{1}{2} (\smile{AD} - 48°)$$

7. $$48° = \smile{AD} - 48°$$

8. $$\smile{AD} = 48° + 48° = 96°$$

Ответ: 96