13. У исполнителя Гамма две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 5; 2. раздели на b (в неизвестное натуральное число; в≥ 2). Выполняя первую из них, Гамма увеличивает число на экране на 5, а выполняя вторую, делит это число на в. Программа для исполнителя Гамма - это последовательность номеров команд. Известно, что программа 11211 переводит число 40 в число 20. Определите значение в.

Определим алгоритм перехода из числа 40 в число 20, используя программу 11211:

1. 40 + 5 = 45 (команда 1)
2. 45 + 5 = 50 (команда 1)
3. 50 / b (команда 2)
4. 50 / b + 5 (команда 1)
5. (50 / b + 5) / b = 20 (команда 2)

Решим уравнение:

$$\frac{\frac{50}{b} + 5}{b} = 20$$

$$\frac{50}{b} + 5 = 20b$$

$$50 + 5b = 20b^2$$

$$20b^2 - 5b - 50 = 0$$

$$4b^2 - b - 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-10) = 1 + 160 = 161$$

$$b_1 = \frac{1 + \sqrt{161}}{8} \approx 1.71$$

$$b_2 = \frac{1 - \sqrt{161}}{8} \approx -1.46$$

Так как b - натуральное число, больше или равное 2, уравнение не имеет решения.

Проверим условие, что программа 11211 переводит число 40 в число 20.

40 + 5 + 5 = 50, разделим на b:

50 / b, далее команда 1, прибавить 5, т.е.:

$$\frac{50}{b} + 5$$

Далее команда 2, разделить на b, тогда получаем:

$$(\frac{50}{b} + 5) / b = 20$$

$$50/b + 5 = 20b$$

$$50 + 5b = 20b^2$$

$$20b^2 - 5b - 50 = 0$$

Разделим на 5:

$$4b^2 - b - 10 = 0$$

$$D = 1 + 160 = 161$$

b не является целым числом.

Следовательно, в условии задачи есть ошибка.

Предположим, что программа 12121 переводит число 40 в число 20. Тогда:

$$\frac{\frac{45}{b} + 5}{b} = 20$$

$$\frac{45}{b} + 5 = 20b$$

$$45 + 5b = 20b^2$$

$$20b^2 - 5b - 45 = 0$$

$$4b^2 - b - 9 = 0$$

$$D = 1 + 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1 + 144 = 145$$

b не является целым числом.

Ответ: нет решения (вероятно, в условии ошибка)