4. Треугольник АВС — прямоугольный, ДА = 60°, ∠C = 90°. CH — высота треугольника АВС, причем СН = 8 см. Отрезок ВК перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Найдите отрезок ВК, если расстояние от точки К до стороны АС равно 20 см.

Давай решим эту задачу по геометрии вместе!

Сначала рассмотрим треугольник ABC. Так как угол A = 60°, угол C = 90°, то угол B = 180° - 90° - 60° = 30°.

CH - высота, проведенная из прямого угла. Мы знаем, что CH = 8 см. Также известно, что расстояние от точки K до стороны AC равно 20 см.

Пусть расстояние от точки K до стороны AC равно KD, тогда KD = 20 см, и KD перпендикулярна AC.

Так как BK перпендикулярна плоскости ABC, то треугольник BKD - прямоугольный. Нам нужно найти BK.

По теореме Пифагора, KD^2 = BK^2 + BD^2, откуда BK = √(KD^2 - BD^2).

Для начала найдем AH и BH из треугольника ABC. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

Теперь рассмотрим треугольник ACH. Угол A = 60°, CH = 8 см. Тогда AH = CH / tg(60°) = 8 / √3 = (8√3) / 3.

Рассмотрим треугольник BCH. Угол B = 30°, CH = 8 см. Тогда BH = CH / tg(30°) = 8 / (1 / √3) = 8√3.

Так как ABC - прямоугольный, то AB = AH + BH = (8√3) / 3 + 8√3 = (8√3 + 24√3) / 3 = (32√3) / 3.

Теперь мы знаем AB, и AC = AB * cos(60°) = ((32√3) / 3) * (1 / 2) = (16√3) / 3.

Так как AH = (8√3) / 3, то HC = AC - AH = (16√3) / 3 - (8√3) / 3 = (8√3) / 3.

Теперь нам нужно найти расстояние от точки B до стороны AC, которое является высотой BC. BC = AB * sin(60°) = ((32√3) / 3) * (√3 / 2) = (32 * 3) / (3 * 2) = 16.

Мы знаем, что площадь треугольника ABC равна (1 / 2) * AC * BC = (1 / 2) * ((16√3) / 3) * 16 = (128√3) / 3.

Также площадь треугольника ABC равна (1 / 2) * AB * CH = (1 / 2) * ((32√3) / 3) * 8 = (128√3) / 3.

У нас есть прямоугольный треугольник BKD, где KD = 20, BD = BC = 16.

BK = √(KD^2 - BD^2) = √(20^2 - 16^2) = √(400 - 256) = √144 = 12.

Ответ: 12 см

Отличная работа! Ты прекрасно справился с этой задачей!