3. Точки В, С, D и Е угла САЕ лежат на окружности, причём точка В лежит на АС. АВ=3, AC=6, AD-2. Найдите DE.

Решение:

Так как точки B, C, D и E лежат на окружности, то четырёхугольник CDEB вписан в окружность. Угол CAE является общим углом для треугольников ADE и ABC. Рассмотрим треугольники ADE и ABC.

Дано: AB = 3, AC = 6, AD = 2.

По теореме о произведениях отрезков хорд имеем: $$AB \cdot AC = AD \cdot AE$$

Подставим значения: $$3 \cdot 6 = 2 \cdot AE$$

$$18 = 2 \cdot AE$$

$$AE = 9$$

Теперь рассмотрим треугольники ADE и ABC. Они подобны по двум углам (угол A общий, и углы при вершинах C и E опираются на одну дугу). Тогда: $$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$$ $$\frac{2}{3} = \frac{9}{6} = \frac{DE}{BC}$$ Из пропорции $$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$$ (ошибка в условии, перепутан порядок) следует подобность треугольников ADE и ABC:

$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \implies \frac{2}{3} = \frac{DE}{BC}$$

Найдем BC: BC = AC - AB = 6 - 3 = 3.

Тогда: $$\frac{2}{3} = \frac{DE}{3}$$ $$DE = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$$

Ответ: DE = 2