Точка Е – середина боковой стороны АВ трапеции АBCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Пусть ABCD – данная трапеция, E – середина стороны AB.

Докажем, что $$S_{ECD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$.

Пусть AD = a, BC = b, h – высота трапеции.

Тогда $$S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} h$$.

Площадь треугольника ECD можно найти как разность между площадью трапеции ABCD и суммой площадей треугольников ABE и CDE:

$$S_{ECD} = S_{ABCD} - S_{ABE} - S_{CDE}$$.

Так как E – середина AB, то AE = EB = $$\frac{1}{2} AB$$.

Пусть h1 – высота треугольника ABE, опущенная из точки E на AD.

Пусть h2 – высота треугольника CDE, опущенная из точки E на BC.

Тогда $$h_1 = h_2 = \frac{1}{2} h$$

Следовательно, $$S_{ABE} = \frac{1}{2} AE h_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} a h_1 = \frac{1}{4} a h$$ и $$S_{CDE} = \frac{1}{2} BE h_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} b h_2 = \frac{1}{4} b h$$.

Тогда

$$S_{ECD} = \frac{a+b}{2} h - \frac{1}{4} ah - \frac{1}{4} bh = \frac{2a+2b-a-b}{4} h = \frac{a+b}{4} h = \frac{1}{2} \cdot \frac{a+b}{2} h = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$.

Что и требовалось доказать.