На стороне ВС остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 49, MD = 42, H – точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

Пусть O – центр полуокружности, построенной на стороне BC как на диаметре. Тогда OM – радиус, и OM = OB = OC = BC/2.

Так как AD – высота треугольника ABC, то $$\angle ADC = 90^\circ$$.

Так как M лежит на полуокружности, построенной на BC как на диаметре, то $$\angle BMC = 90^\circ$$ (угол, опирающийся на диаметр).

Следовательно, BM – высота треугольника ABC.

Так как H – точка пересечения высот треугольника ABC, то AD и BM – высоты, пересекающиеся в точке H.

AH = AD - HD, где AD = 49.

Найдем HD.

AM = AD - MD = 49 - 42 = 7.

Треугольники BHD и AMC подобны (оба прямоугольные, и $$\angle HBD = 90^\circ - \angle BHD = \angle MAC$$).

Тогда $$\frac{HD}{AM} = \frac{BD}{MC}$$.

Треугольники BDA и BMC также подобны (оба прямоугольные, и $$\angle DBA = \angle MBA = 90^\circ - \angle BMC = \angle MCA$$).

Тогда $$\frac{BD}{AM} = \frac{AD}{BC}$$.

$$MD \cdot AD = BD \cdot CD$$

Рассмотрим треугольник ABD:

$$\frac{AH}{MD} = \frac{AD}{AM} \Rightarrow AH = \frac{AD \cdot MD}{AM} = \frac{49 \cdot 42}{7} = 49 \cdot 6 = 294$$.

Ответ: 294