Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика3 Тип 15 і В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ И LACD = 127°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Ответ:
Рассмотрим треугольник ABC. Обозначим сторону AB = a, тогда AC = 2a. Угол ACD = углу CAB = 127° (как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).
По теореме синусов для треугольника ABC: $$\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = \frac{AC}{\sin{\angle ABC}}$$ Так как BC = a, AC = 2a, то $$\frac{a}{\sin{\angle BAC}} = \frac{2a}{\sin{\angle ABC}}$$ $$\sin{\angle ABC} = 2\sin{\angle BAC}$$ Пусть угол BAC = x, тогда угол ABC = 180° - 127° - x = 53° - x. $$\sin{(53° - x)} = 2\sin{x}$$ Воспользуемся формулой синуса разности: $$\sin{53°}\cos{x} - \cos{53°}\sin{x} = 2\sin{x}$$ $$\sin{53°}\cos{x} = (2 + \cos{53°})\sin{x}$$ $$\tan{x} = \frac{\sin{53°}}{2 + \cos{53°}}$$ $$\tan{x} = \frac{0.7986}{2 + 0.6018} = \frac{0.7986}{2.6018} \approx 0.307$$ $$x = \arctan{0.307} \approx 17.08°$$ Следовательно, угол BAC ≈ 17.08°.
Теперь рассмотрим треугольник, образованный диагоналями параллелограмма. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Поэтому AO = OC. Рассмотрим треугольник AOB. Угол BAO = углу BAC ≈ 17.08°. Чтобы найти угол между диагоналями, нам нужно найти угол AOB. Угол ACB = углу CAD = 127° (как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей AC). Тогда угол BOC = углу AOD (вертикальные углы). Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол AOB = 180° - угол BAO - угол ABO. Угол ABO = углу ABC = 53° - 17.08° = 35.92°. Тогда угол AOB = 180° - 17.08° - 35.92° = 127°.
Пусть угол между диагоналями равен y. Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника. Два из них (прилежащие к сторонам параллелограмма) равны между собой, как и два других (прилежащие к основаниям). Если обозначить угол между диагоналями за y, то сумма двух углов y и (180 - y) равна 180. Один из углов между диагоналями равен 127°, а другой угол равен 180° - 127° = 53°.
Угол между диагоналями параллелограмма равен 53°.
Ответ: 53
Похожие
