16 Тип 15 i Точка О — центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что ОPQR — ромб. Найдите Р угол ORQ. Ответ дайте в градусах. Ω R О решуся.рф

Точка O – центр окружности, точки P, Q, R лежат на окружности. OPQR – ромб, нужно найти угол ORQ.

Так как OPQR – ромб, то все его стороны равны, то есть OP = PQ = QR = OR.

Рассмотрим треугольник ORQ. Так как OR = QR, то треугольник ORQ равнобедренный, и углы при основании равны, то есть ∠ORQ = ∠QOR.

Так как OPQR – ромб, то противолежащие углы равны, то есть ∠OPQ = ∠ORQ. Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Так как ∠OPQ = ∠ORQ, то ∠ORQ = 180°/2 = 90°.

В треугольнике ORQ ∠ORQ + ∠QOR + ∠OQR = 180°. Так как ∠ORQ = ∠QOR, то 2∠ORQ + ∠OQR = 180°.

Рассмотрим ромб OPQR. Угол OQR является частью угла OQP, а угол OQP = ∠ORQ = 90°.

Так как OP = OQ (радиусы окружности), то треугольник OPQ равнобедренный, и углы при основании равны, то есть ∠OPQ = ∠OQP.

Сумма углов треугольника равна 180°, значит ∠POQ = 180° - 2∠OPQ.

Так как OPQR – ромб, то ∠POR = ∠OQP = ∠OPQ. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то ∠POR + ∠OPQ + ∠OQR + ∠ORP = 360°.

Так как ∠OPQ = ∠POR, то 2∠POR + ∠OQR + ∠ORP = 360°.

Рассмотрим треугольник OPQ. Он равнобедренный, так как OP = OQ (радиусы окружности). Значит углы при основании равны. ∠OPQ = ∠OQP. Тогда ∠POQ = 180° - 2∠OPQ.

Так как OPQR – ромб, то ∠OQR = ∠OPR = ∠OPQ. Сумма углов ромба 360°. Тогда ∠OPQ + ∠POR = 180°. Так как ∠OPQ = ∠POR, то ∠OPQ = 90°.

Тогда ∠POQ = 180° - 2∠OPQ = 180° - 2·90° = 0°.

Ромб OPQR состоит из двух равносторонних треугольников. Значит, ∠POR = 60°.

Угол ORQ является частью угла ORP. Так как ∠ORP = 60°, то ∠ORQ = 60°/2 = 30°.

Ответ: 30