3. Тип 17 № 352396 Основания трапеции равны 7 и 42, одна из боковых сторон равна 20, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{\sqrt{13}}{7}$$. Найдите площадь трапеции.

Обозначим основания трапеции как $$a$$ и $$b$$, где $$a = 7$$ и $$b = 42$$. Боковая сторона $$c = 20$$. Косинус угла $$\alpha$$ между боковой стороной и основанием равен $$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{13}}{7}$$. Сначала найдем синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$. $$\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{\sqrt{13}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{13}{49} = \frac{49 - 13}{49} = \frac{36}{49}$$. $$\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{6}{7}$$. Теперь найдем высоту трапеции $$h$$. Высота $$h$$ может быть найдена как $$h = c \cdot \sin(\alpha)$$, где $$c$$ - длина боковой стороны. $$h = 20 \cdot \frac{6}{7} = \frac{120}{7}$$. Площадь трапеции $$S$$ вычисляется по формуле: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$. $$S = \frac{7 + 42}{2} \cdot \frac{120}{7} = \frac{49}{2} \cdot \frac{120}{7} = 7 \cdot \frac{120}{2} = 7 \cdot 60 = 420$$. Ответ: 420