Тип 15 № 352718: В трапеции ABCD известно, что AB = CD, AC = AD и ∠ABC = 97°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Трапеция ABCD равнобокая (AB = CD). Так как AC = AD, треугольник ACD равнобедренный.
В равнобокой трапеции углы при основании равны, то есть $$\angle ABC = \angle BCD = 97^{\circ}$$.
Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна $$180^{\circ}$$, то есть $$\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$$. Значит, $$\angle BAD = 180^{\circ} - 97^{\circ} = 83^{\circ}$$. Так как трапеция равнобокая, то $$\angle ADC = \angle BAD = 83^{\circ}$$.
В треугольнике ACD AC = AD, значит, углы при основании равны: $$\angle ACD = \angle ADC = 83^{\circ}$$.
Теперь найдем угол CAD: $$\angle CAD = 180^{\circ} - \angle ACD - \angle ADC = 180^{\circ} - 83^{\circ} - 83^{\circ} = 180^{\circ} - 166^{\circ} = 14^{\circ}$$. Ответ: Угол CAD равен 14 градусам.