14. Тип 8 № 10190 1 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величи если DA = 4, а АС = 8. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Ответ: 60°

1. Шаг 1: Найдем AD

   В прямоугольном треугольнике ADC, высота CD является средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу, то есть:

   \[CD^2 = AD \cdot DB\]

   Выразим AD:

   \[AD = \frac{AC^2}{AB}\]

   Нам дано DA = 4 и АС = 8. Тогда:

   \[AD = \frac{AC^2}{DA} = \frac{8^2}{4} = \frac{64}{4} = 16\]

2. Шаг 2: Найдем угол CAD

   В прямоугольном треугольнике ADC:

   \[\tan(\angle CAD) = \frac{CD}{AD} = \frac{8}{4} = 2\]

   Значит, \[\angle CAD = \arctan(2)\]

3. Шаг 3: Найдем угол BAC

   Так как \[\angle CAD = \arctan(2)\], то \[\angle BAC = 90° - \arctan(2)\]

4. Шаг 4: Найдем величину угла, если DA = 4, а АС = 8

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Пусть угол \(\angle BAC = \alpha\).

   \[\cos(\alpha) = \frac{AC}{AB}\]

   где AB - гипотенуза, AC - прилежащий катет.

   По теореме Пифагора:

   \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}\]

   Нам известно, что DA = 4, AC = 8. Обозначим CD = h. Тогда по свойству высоты в прямоугольном треугольнике:

   \[AC^2 = AD \cdot AB \Rightarrow 8^2 = 4 \cdot AB \Rightarrow AB = \frac{64}{4} = 16\]

   Теперь найдем \(\cos(\alpha)\):

   \[\cos(\alpha) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\]

   Следовательно, \[\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ\]

Ответ: 60°