16. Тип 16 № 102 1 Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найди- те радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

Решение задания 16

Пусть B и C - точки касания, тогда углы ABO и ACO прямые (90°), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов четырехугольника равна 360°.

\[\angle BOC = 360° - \angle ABO - \angle ACO - \angle BAC = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°.\]

Рассмотрим треугольник ABO. Он прямоугольный, так как \(\angle ABO = 90°\). Угол BAO равен половине угла BAC, так как AO - биссектриса угла BAC (свойство касательных, проведенных из одной точки). Следовательно, \[\angle BAO = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°.\]

В прямоугольном треугольнике ABO катет против угла 30° равен половине гипотенузы. Таким образом, BO (радиус) равен половине AO:

\[BO = \frac{1}{2} AO = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4.\]

Ответ: 4

Проверка за 10 секунд: Проверь, что радиус меньше расстояния от точки A до центра окружности.

Запомни: Радиус, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной.