21. Тип 21 № 311659 i Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 3 км/ч. Лодка прохо- дит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Пусть $$v$$ - собственная скорость лодки (км/ч). Скорость течения реки равна 3 км/ч. Расстояние между пристанями обозначим как $$S$$.

При движении по течению скорость лодки равна $$v + 3$$ км/ч, против течения - $$v - 3$$ км/ч.

Время движения по течению: $$t_1 = \frac{S}{v + 3}$$.

Время движения против течения: $$t_2 = \frac{S}{v - 3}$$.

Общее время: $$t = t_1 + t_2 = \frac{S}{v + 3} + \frac{S}{v - 3} = S\left(\frac{1}{v + 3} + \frac{1}{v - 3}\right) = S\frac{2v}{v^2 - 9}$$.

Средняя скорость равна 8 км/ч, поэтому общее время можно выразить как $$t = \frac{2S}{8} = \frac{S}{4}$$.

Приравниваем оба выражения для времени:

$$\frac{S}{4} = S\frac{2v}{v^2 - 9}$$

Разделим обе части на $$S$$:

$$\frac{1}{4} = \frac{2v}{v^2 - 9}$$

$$v^2 - 9 = 8v$$

$$v^2 - 8v - 9 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$v = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(-9)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}$$

$$v_1 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$v_2 = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем $$v = 9$$ км/ч.

Ответ: 9