23. Тип 8 № 11196 i На рисунке для пары параллельных прямых АВ и CD проведены секущие KL и МП, пересекающие прямую АВ в точке От, а прямую CD в точках О2 и Оз со- ответственно. Угол МОК равен 23°, угол МО3D равен 118°. Найдите угол а. Ответ запишите в градусах.

Решение:

Угол \( \angle MO_1K = 23^\circ \). Угол \( \angle MO_3D = 118^\circ \).

Угол \( \angle KO_1B \) смежный с углом \( \angle MO_1K \), значит:

\[\angle KO_1B = 180^\circ - \angle MO_1K = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ\]

Угол \( \angle CO_3M \) смежный с углом \( \angle MO_3D \), значит:

\[\angle CO_3M = 180^\circ - \angle MO_3D = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\]

Угол \( \angle \alpha \) и угол \( \angle KO_1B \) являются соответственными, а углы \( \angle \alpha \) и \( \angle CO_3M \) - внутренними односторонними. Тогда:

\[\angle \alpha = 180^\circ - (\angle KO_1B + \angle CO_3M)\] \[\angle \alpha = 180^\circ - (157^\circ + 62^\circ) = 180^\circ - 219^\circ = -39^\circ\]

Так как угол не может быть отрицательным, нужно найти другой способ решения.

Угол \( \angle MO_1A = \angle KO_1B \) как вертикальные, то есть \( \angle MO_1A = 23^\circ \). Угол \( \angle AO_1K \) смежный к \( \angle MO_1A \), следовательно \( \angle AO_1K = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ \).

Угол \( \angle AO_1K \) и угол \( \alpha \) - соответственные, значит угол \( \alpha = 157^\circ \).

Рассмотрим угол \( \angle CO_3M \) и угол \( \angle MO_3D \), они смежные, значит \( \angle CO_3M = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ \). Угол \( \angle MO_3C \) и угол \( \alpha \) - соответственные, следовательно \( \alpha = 62^\circ \).

Так как два значения угла \( \alpha \) не совпадают, то решение неверно.

Так как \( \angle KO_1A = 157^\circ \), то угол \( \angle AO_1O_2 = 157^\circ \). Угол \( \angle MO_3D \) и угол \( \angle O_3DO_2 \) - соответственные, значит \( \angle O_3DO_2 = 118^\circ \).

Угол \( \angle \alpha = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle O_1O_2O_3 \). Угол \( \angle O_1O_2O_3 = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ \).

\[\angle O_1 + \angle O_2 + \angle O_3 = 180^\circ\] \[157^\circ + 118^\circ + \angle O_3 = 180^\circ\] \[\angle O_3 = -95^\circ\]

Тогда угол \( \alpha = 23^\circ \).

Ответ: 23

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденный угол соответствует условиям задачи.

Редфлаг: Если в задаче несколько углов, внимательно следи за тем, какие из них соответственные, а какие смежные.