14 Тип 14 № 412206 i На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда по- следнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Длина ломаной состоит из суммы длин всех звеньев. Так как звеньев четное количество, то можно сказать, что половина звеньев - горизонтальные, а половина - вертикальные. Рассмотрим звенья попарно (одно горизонтальное и одно вертикальное). Заметим, что длина пары звеньев постоянно уменьшается на 2 (1 клетка с каждой стороны), то есть образует арифметическую прогрессию.

Пусть последнее звено имеет длину 120, тогда предпоследнее - 122, а пара звеньев имеет длину 120 + 122 = 242. Первый отрезок имеет длину 2, второй - 4, тогда первая пара звеньев имеет длину 2 + 4 = 6.

Найдем количество звеньев. Разность арифметической прогрессии равна 2.

$$a_n = a_1 + d(n-1)$$, где $$a_1$$ - первый член, d - разность, n - количество членов.

$$120 = 2 + 2(n-1)$$, $$120 = 2 + 2n - 2$$, $$120 = 2n$$, $$n = 60$$. Значит всего 60 горизонтальных звеньев и 60 вертикальных, то есть 120 звеньев в ломаной.

Тогда количество пар звеньев: 120/2 = 60.

Найдем сумму 60 членов арифметической прогрессии.

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$, где $$a_1$$ - первый член, $$a_n$$ - последний член, n - количество членов.

$$S_{60} = \frac{6 + 242}{2} \cdot 60 = \frac{248}{2} \cdot 60 = 124 \cdot 60 = 7440$$.

Ответ: 7440