Тіло на пружині здійснює гармонічні коливання за законом. (Yel величини, що входять у рівняння, задано в одиницях СЛ.) Визначте масу тіла, якщо жорсткість пружини становить 10 кН/м. (3 бали)

Розв'язання:

За законом Гука, період коливань тіла на пружині визначається формулою:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

де \( T \) — період коливань, \( m \) — маса тіла, \( k \) — жорсткість пружини.

Нам дано рівняння коливань \( x = \cos{\frac{\pi}{6}} t \). З цього рівняння можна визначити період коливань. Загальний вигляд рівняння гармонічних коливань: \( x = A \cos(\omega t + \phi) \). У нашому випадку \( \omega = \frac{\pi}{6} \) рад/с.

Зв'язок між кутовою частотою \( \omega \) та періодом \( T \) такий:

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]

Звідси, \( T = \frac{2\pi}{\omega} \). Підставимо значення \( \omega \):

\[ T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}} = 2\pi \times \frac{6}{\pi} = 12 \text{ с} \]

Тепер, знаючи період \( T \) та жорсткість пружини \( k = 10 \) кН/м = \( 10000 \) Н/м, знайдемо масу \( m \) з формули періоду:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

\[ T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} \]

Виразимо масу \( m \):

\[ m = \frac{k T^2}{4\pi^2} \]

Підставимо значення:

\[ m = \frac{10000 \text{ Н/м} \times (12 \text{ с})^2}{4\pi^2} \]\[ m = \frac{10000 \times 144}{4\pi^2} \]\[ m = \frac{1440000}{4\pi^2} \]\[ m \approx \frac{1440000}{4 \times 9.87} \]\[ m \approx \frac{1440000}{39.48} \]\[ m \approx 36474 \text{ кг} \]

Відповідь: Маса тіла становить приблизно 36474 кг.