Существует ли выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а)108°; б)120°; в) 75°

Решение:

В выпуклом n-угольнике каждый угол равен \( \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} \). Для существования такого многоугольника значение \( n \) должно быть целым числом, большим или равным 3.

1. а) 108°:
   \( 108^{\circ} = \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} \)
   \( 108n = 180n - 360 \)
   \( 180n - 108n = 360 \)
   \( 72n = 360 \)
   \( n = \frac{360}{72} = 5 \).
   Так как \( n=5 \) — целое число, такой многоугольник существует (пятиугольник).
2. б) 120°:
   \( 120^{\circ} = \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} \)
   \( 120n = 180n - 360 \)
   \( 180n - 120n = 360 \)
   \( 60n = 360 \)
   \( n = \frac{360}{60} = 6 \).
   Так как \( n=6 \) — целое число, такой многоугольник существует (шестиугольник).
3. в) 75°:
   \( 75^{\circ} = \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} \)
   \( 75n = 180n - 360 \)
   \( 180n - 75n = 360 \)
   \( 105n = 360 \)
   \( n = \frac{360}{105} = \frac{72}{21} = \frac{24}{7} \) — нецелое число.
   Следовательно, такого многоугольника не существует.

Ответ: а) Да, существует; б) Да, существует; в) Нет, не существует.