Сумма двух чисел равна -10, а сумма их квадратов равна 68. Найдите эти числа. Ответ:

3. Нахождение двух чисел по условиям:

Пусть два числа будут $$x$$ и $$y$$. По условию задачи мы имеем систему уравнений:

1. Первое уравнение (сумма чисел):

   $$x + y = -10$$

2. Второе уравнение (сумма квадратов):

   $$x^2 + y^2 = 68$$

Решение системы:

1. Выразим одно переменную через другую из первого уравнения:

   Из $$x + y = -10$$ следует, что $$y = -10 - x$$.

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

   $$x^2 + (-10 - x)^2 = 68$$

   $$x^2 + (100 + 20x + x^2) = 68$$

   $$2x^2 + 20x + 100 - 68 = 0$$

   $$2x^2 + 20x + 32 = 0$$

3. Упростим уравнение, разделив на 2:

   $$x^2 + 10x + 16 = 0$$

4. Решим полученное квадратное уравнение:

   Используем теорему Виета или дискриминант. Через дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 imes 1 imes 16 = 100 - 64 = 36$$.

   Корни: $$x = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2 imes 1} = \frac{-10 \pm 6}{2}$$

   $$x_1 = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

   $$x_2 = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

5. Найдем соответствующие значения $$y$$:

   Если $$x = -2$$, то $$y = -10 - (-2) = -10 + 2 = -8$$.

   Если $$x = -8$$, то $$y = -10 - (-8) = -10 + 8 = -2$$.

Таким образом, числа -2 и -8 удовлетворяют обоим условиям.

Проверка:

Сумма: $$(-2) + (-8) = -10$$.

Сумма квадратов: $$(-2)^2 + (-8)^2 = 4 + 64 = 68$$.

Ответ: -2 и -8