Сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда равна 624 дм. Найдите измерения параллелепипеда, если известно, что ширина параллелепипеда втрое меньше его длины, а длина — на 37 дм меньше его высоты.

Решение:

Пусть длина параллелепипеда равна \( a \) дм, ширина — \( b \) дм, а высота — \( c \) дм.

У параллелепипеда 4 длины, 4 ширины и 4 высоты.

Сумма длин всех ребер равна \( 4a + 4b + 4c \).

По условию, \( 4a + 4b + 4c = 624 \) дм.

Разделим всё на 4: \( a + b + c = 156 \) дм.

По условию:

• Ширина втрое меньше длины: \( b = \frac{a}{3} \).
• Длина на 37 дм меньше высоты: \( a = c - 37 \), откуда \( c = a + 37 \).

Подставим выражения для \( b \) и \( c \) в уравнение \( a + b + c = 156 \):

\( a + \frac{a}{3} + (a + 37) = 156 \)

\( a + \frac{a}{3} + a + 37 = 156 \)

\( 2a + \frac{a}{3} = 156 - 37 \)

\( 2a + \frac{a}{3} = 119 \)

Приведём к общему знаменателю 3:

\( \frac{6a}{3} + \frac{a}{3} = 119 \)

\( \frac{7a}{3} = 119 \)

\( 7a = 119 \cdot 3 \)

\( 7a = 357 \)

\( a = \frac{357}{7} \)

\( a = 51 \) дм (длина).

Теперь найдём ширину и высоту:

\( b = \frac{a}{3} = \frac{51}{3} = 17 \) дм (ширина).

\( c = a + 37 = 51 + 37 = 88 \) дм (высота).

Проверим сумму длин ребер: \( 4 \cdot 51 + 4 \cdot 17 + 4 \cdot 88 = 204 + 68 + 352 = 624 \) дм. Всё верно.

Ответ: Длина — 51 дм, ширина — 17 дм, высота — 88 дм.