32.2. 1) Стороны прямоугольника равны 8 и 12 см. Найдите его диагональ. 2) В треугольнике АВС ∠A=90°, ∠B=30°, АВ=6 см. Найдите две другие стороны треугольника.

1) Стороны прямоугольника равны 8 см и 12 см. Найдем диагональ прямоугольника.

Диагональ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора:

$$d^2 = a^2 + b^2$$

где $$a$$ и $$b$$ – стороны прямоугольника, $$d$$ – диагональ.

В данном случае $$a = 8$$ см, $$b = 12$$ см.

$$d^2 = 8^2 + 12^2$$

$$d^2 = 64 + 144$$

$$d^2 = 208$$

$$d = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13} \text{ см}$$

2) В треугольнике ABC угол A = 90°, угол B = 30°, сторона AB = 6 см. Найдем две другие стороны треугольника.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол C равен 180° - 90° - 30° = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABC с углом B = 30°, катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

Сторона AC лежит против угла B (30°), поэтому AC = 1/2 * BC. AB является прилежащим катетом к углу B.

Используем тригонометрические функции:

$$\tan(B) = \frac{AC}{AB}$$

$$\tan(30°) = \frac{AC}{6}$$

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AC}{6}$$

$$AC = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$$

Теперь найдем гипотенузу BC:

$$BC = 2 \cdot AC = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$

Ответ: 1) $$4\sqrt{13}$$ см; 2) $$2\sqrt{3}$$ см, $$4\sqrt{3}$$ см