Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 16, боковые ребра равны 17. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.

В правильной шестиугольной пирамиде в основании лежит правильный шестиугольник, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

Площадь правильного шестиугольника со стороной a равна:

$$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$

В нашем случае a = 16, поэтому:

$$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 256 = 384\sqrt{3}$$

Теперь найдем площадь боковой поверхности. Она состоит из шести равных равнобедренных треугольников. Боковое ребро равно b = 17.

Найдем высоту боковой грани (апофему) h. Апофема является высотой равнобедренного треугольника, проведенной к основанию. Она делит основание пополам.

По теореме Пифагора:

$$h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$$

Площадь одной боковой грани:

$$S_{грани} = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{бок} = 6 S_{грани} = 6 \cdot 120 = 720$$

Площадь полной поверхности:

$$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 384\sqrt{3} + 720$$ Ответ: $$720 + 384\sqrt{3}$$