15. Столяр вырезал полку для шкафа в виде пятиугольника, в основе – квадрат 400 × 400 мм, от которого отрезан один угол (см. рис.) так, что длина скошенной кромки равна 240 мм. Теперь столяру нужно вырезать похожую полку, у которой три кромки выдаются на 40 мм по сравнению с первой полкой. Какова будет длина скошенной кромки у второй полки? Считайте tg 22,5 ≈ 0,4142. Результат округлите до целого числа миллиметров. Запишите решение и ответ

Пусть \(a\) – сторона квадрата, из которого вырезана полка, а \(x\) – длина катета прямоугольного треугольника, который отрезается от квадрата. Тогда длина скошенной кромки \(c\) равна \(\sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}\) по теореме Пифагора. В первом случае \(a = 400\) мм и \(c = 240\) мм. Тогда \(x = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{240}{\sqrt{2}}\). Мы знаем, что \(\tan(22.5^\circ) \approx 0.4142 = \sqrt{2} - 1\). Из рисунка видно, что \(\tan(22.5^\circ) = \frac{x}{400-x}\). Таким образом, \(x = (400-x) \cdot 0.4142\). \[x = 400 \cdot 0.4142 - 0.4142x\]\[1.4142x = 400 \cdot 0.4142\]\[x = \frac{400 \cdot 0.4142}{1.4142} \approx \frac{165.68}{1.4142} \approx 117.16\] Теперь у нас есть вторая полка, у которой стороны квадрата увеличены на 40 мм. Значит, новая сторона квадрата равна \(400 + 40 = 440\) мм. Пусть \(x'\) – новый катет, тогда: \[\tan(22.5^\circ) = \frac{x'}{440-x'}\]\[0.4142 = \frac{x'}{440-x'}\]\[0.4142(440 - x') = x'\]\[182.248 - 0.4142x' = x'\]\[1.4142x' = 182.248\]\[x' = \frac{182.248}{1.4142} \approx 128.86\] Новая длина скошенной кромки \(c' = x'\sqrt{2} = 128.86 \cdot \sqrt{2} \approx 128.86 \cdot 1.4142 \approx 182.24\) Округляя до целого числа, получаем **182 мм**.