\(\sqrt{32}\) - \(\sqrt{128}\)sin^2(9π/8)

Привет! Давай упростим это выражение.

1. Упростим корни.

   Сначала упростим корни:

   \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \).

   \( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2} \).

2. Подставим упрощенные корни в выражение.

   Теперь выражение выглядит так:

   \( 4\sqrt{2} - 8\sqrt{2} \sin^2 \frac{9\pi}{8} \).

3. Вынесем общий множитель.

   Вынесем \( 4\sqrt{2} \) за скобки:

   \( 4\sqrt{2} \left( 1 - 2 \sin^2 \frac{9\pi}{8} \right) \).

4. Вспоминаем формулу косинуса двойного угла.

   Обрати внимание на выражение в скобках: \( 1 - 2 \sin^2 x \). Это одна из формул для косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \).

5. Применяем формулу.

   В нашем случае \( x = \frac{9\pi}{8} \). Тогда \( 2x = 2 \times \frac{9\pi}{8} = \frac{9\pi}{4} \).

   Выражение в скобках равно \( \cos \frac{9\pi}{4} \).

6. Упрощаем угол.

   Угол \( \frac{9\pi}{4} \) можно упростить. \( \frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} \). Поскольку \( \cos (2\pi + y) = \cos y \), то \( \cos \frac{9\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} \).

7. Находим значение косинуса.

   \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

8. Собираем все вместе.

   Наше выражение стало:

   \( 4\sqrt{2} \times \cos \frac{9\pi}{4} = 4\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \).

   \( = \frac{4\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{4 \times 2}{2} = 4 \).

Ответ: 4