1. Спортсмен должен поразить 3 мишени, сделав не более пяти выстрелов. Каждый выстрел попадает в цель с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что он поразит все мишени?

Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение. Вероятность поразить мишень равна 0,5, вероятность промаха также 0,5. Спортсмен должен поразить 3 мишени.

События, при которых спортсмен поразит все мишени:

• 3 попадания из 3 выстрелов
• 3 попадания из 4 выстрелов
• 3 попадания из 5 выстрелов

1) Вероятность 3 попаданий из 3 выстрелов:

$$P_3 = C_3^3 * (0.5)^3 * (0.5)^0 = 1 * 0.125 * 1 = 0.125$$

2) Вероятность 3 попаданий из 4 выстрелов:

$$P_4 = C_4^3 * (0.5)^3 * (0.5)^1 = 4 * 0.125 * 0.5 = 0.25$$

3) Вероятность 3 попаданий из 5 выстрелов:

$$P_5 = C_5^3 * (0.5)^3 * (0.5)^2 = 10 * 0.125 * 0.25 = 0.3125$$

Суммарная вероятность:

$$P = P_3 + P_4 + P_5 = 0.125 + 0.25 + 0.3125 = 0.6875$$

Ответ: 0.6875