Solve the equation: cosx + cos3x = cos2x

Решение:

Используем формулу суммы косинусов: \( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \).

Перепишем уравнение: \( \cos x + \cos 3x = \cos 2x \)

Применим формулу к левой части: \( 2 \cos \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} = \cos 2x \)

Упростим: \( 2 \cos 2x \cos (-x) = \cos 2x \)

Так как \( \cos (-x) = \cos x \), получим: \( 2 \cos 2x \cos x = \cos 2x \)

Перенесём всё в одну сторону: \( 2 \cos 2x \cos x - \cos 2x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( \cos 2x \): \( \cos 2x (2 \cos x - 1) = 0 \)

Это даёт два случая:

1. \( \cos 2x = 0 \)

\( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

\( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \) — целое число.

2. \( 2 \cos x - 1 = 0 \)

\( 2 \cos x = 1 \)

\( \cos x = \frac{1}{2} \)

\( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \), где \( n \) — целое число.