Solve the equation: √4x + 8 - √3x - 2 = 2

Решение:

Перенесём один корень в правую часть: \( \sqrt{4x+8} = 2 + \sqrt{3x-2} \)

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{4x+8})^2 = (2 + \sqrt{3x-2})^2 \)

\( 4x + 8 = 4 + 4\sqrt{3x-2} + (3x-2) \)

\( 4x + 8 = 4 + 4\sqrt{3x-2} + 3x - 2 \)

Упростим правую часть: \( 4x + 8 = 2 + 3x + 4\sqrt{3x-2} \)

Перенесём члены без корня влево: \( 4x - 3x + 8 - 2 = 4\sqrt{3x-2} \)

\( x + 6 = 4\sqrt{3x-2} \)

Снова возведём обе части в квадрат:

\( (x+6)^2 = (4\sqrt{3x-2})^2 \)

\( x^2 + 12x + 36 = 16(3x-2) \)

\( x^2 + 12x + 36 = 48x - 32 \)

Перенесём всё в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + 12x - 48x + 36 + 32 = 0 \)

\( x^2 - 36x + 68 = 0 \)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 68 = 1296 - 272 = 1024 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32 \)

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{-(-36) + 32}{2 \cdot 1} = \frac{36 + 32}{2} = \frac{68}{2} = 34 \)

\( x_2 = \frac{-(-36) - 32}{2 \cdot 1} = \frac{36 - 32}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Теперь необходимо проверить полученные корни, подставив их в исходное уравнение.

Проверка для x = 34:

\( \sqrt{4(34)+8} - \sqrt{3(34)-2} = \sqrt{136+8} - \sqrt{102-2} = \sqrt{144} - \sqrt{100} = 12 - 10 = 2 \). Верно.

Проверка для x = 2:

\( \sqrt{4(2)+8} - \sqrt{3(2)-2} = \sqrt{8+8} - \sqrt{6-2} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2 \). Верно.

Ответ: x = 2, x = 34.