Solve the equation: 7. (1/7)^(3x+7) - 7. (1/7)^(3x+8) = 49

Решение:

Запишем уравнение: \( 7 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} - 7 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+8} = 49 \)

Изменим показатель степени второго члена: \( \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+8} = \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^1 = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} \)

Подставим это в уравнение:

\( 7 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} - 7 \cdot \frac{1}{7} \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} = 49 \)

\( 7 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} - 1 \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} = 49 \)

Вынесем общий множитель \( \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} \):

\( \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} (7 - 1) = 49 \)

\( \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} \cdot 6 = 49 \)

\( \left( \frac{1}{7} \right)^{3x+7} = \frac{49}{6} \)

Заметим, что \( \frac{1}{7} = 7^{-1} \), а \( 49 = 7^2 \). Тогда:

\( (7^{-1})^{3x+7} = \frac{7^2}{6} \)

\( 7^{-(3x+7)} = \frac{7^2}{6} \)

\( 7^{-3x-7} = \frac{7^2}{6} \)

Возьмём логарифм по основанию 7 от обеих частей:

\( \log_7(7^{-3x-7}) = \log_7\left(\frac{7^2}{6}\right) \)

\( -3x - 7 = \log_7(7^2) - \log_7(6) \)

\( -3x - 7 = 2 - \log_7(6) \)

\( -3x = 9 - \log_7(6) \)

\( x = \frac{9 - \log_7(6)}{-3} \)

\( x = -3 + \frac{\log_7(6)}{3} \)

\( x = -3 + \frac{1}{3} \log_7(6) \)

\( x = -3 + \log_7(6^{1/3}) \)

\( x = -3 + \log_7(\sqrt[3]{6}) \)

Ответ: $$x = -3 + \frac{1}{3} \log_7(6)$$.