758. Сократите дробь: 1) \frac{4x^{2}+x-3}{x^{2}-1}; 2) \frac{2y^{2}+3y-5}{y^{2}-2y+1}; 3) \frac{a^{2}+5a+4}{a^{2}-a-20}; 4) \frac{3+20b-7b^{2}}{7b^{2}-6b-1}.

Решение:

1) Давай сократим дробь \(\frac{4x^{2}+x-3}{x^{2}-1}\). Сначала разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: \(4x^2 + x - 3 = 0\). Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49\). Корни: \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{8} = \frac{-1+7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) и \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{8} = \frac{-1-7}{8} = \frac{-8}{8} = -1\). Значит, числитель можно разложить как \(4(x-\frac{3}{4})(x+1) = (4x-3)(x+1)\). Знаменатель представляет собой разность квадратов: \(x^{2}-1 = (x-1)(x+1)\). Теперь дробь выглядит так: \(\frac{(4x-3)(x+1)}{(x-1)(x+1)}\). Сокращаем на \((x+1)\), получаем \(\frac{4x-3}{x-1}\). 2) Теперь сократим дробь \(\frac{2y^{2}+3y-5}{y^{2}-2y+1}\). Разложим числитель \(2y^{2}+3y-5\) на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(2y^{2}+3y-5 = 0\). Дискриминант \(D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49\). Корни \(y_{1} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{4} = \frac{-3+7}{4} = \frac{4}{4} = 1\) и \(y_{2} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{4} = \frac{-3-7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}\). Значит, числитель можно разложить как \(2(y-1)(y+\frac{5}{2}) = (y-1)(2y+5)\). Знаменатель \(y^{2}-2y+1\) является полным квадратом: \((y-1)^{2}\). Теперь дробь выглядит так: \(\frac{(y-1)(2y+5)}{(y-1)^{2}}\. Сокращаем на \((y-1)\), получаем \(\frac{2y+5}{y-1}\). 3) Разложим на множители числитель \(a^2 + 5a + 4\). Корни квадратного уравнения \(a^2 + 5a + 4 = 0\) будут \(a_1 = -1\) и \(a_2 = -4\). Числитель раскладывается на множители как \((a + 1)(a + 4)\). Разложим на множители знаменатель \(a^2 - a - 20\). Корни квадратного уравнения \(a^2 - a - 20 = 0\) будут \(a_1 = 5\) и \(a_2 = -4\). Знаменатель раскладывается на множители как \((a - 5)(a + 4)\). Сокращаем дробь \(\frac{(a + 1)(a + 4)}{(a - 5)(a + 4)}\) на \((a + 4)\). Получаем \(\frac{a + 1}{a - 5}\). 4) Сократим дробь \(\frac{3+20b-7b^{2}}{7b^{2}-6b-1}\). Сначала вынесем минус в числителе: \(-(7b^2 - 20b - 3)\). Разложим числитель \(7b^2 - 20b - 3\) на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(7b^{2}-20b-3 = 0\). Дискриминант \(D = (-20)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 400 + 84 = 484\). Корни \(b_{1} = \frac{20 + \sqrt{484}}{14} = \frac{20+22}{14} = \frac{42}{14} = 3\) и \(b_{2} = \frac{20 - \sqrt{484}}{14} = \frac{20-22}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}\). Значит, числитель можно разложить как \(7(b-3)(b+\frac{1}{7}) = (b-3)(7b+1)\). Теперь разложим знаменатель \(7b^{2}-6b-1\) на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(7b^{2}-6b-1 = 0\). Дискриминант \(D = (-6)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64\). Корни \(b_{1} = \frac{6 + \sqrt{64}}{14} = \frac{6+8}{14} = \frac{14}{14} = 1\) и \(b_{2} = \frac{6 - \sqrt{64}}{14} = \frac{6-8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}\). Значит, знаменатель можно разложить как \(7(b-1)(b+\frac{1}{7}) = (b-1)(7b+1)\). Теперь дробь выглядит так: \(\frac{-(b-3)(7b+1)}{(b-1)(7b+1)}\). Сокращаем на \((7b+1)\), получаем \(\frac{-(b-3)}{b-1} = \frac{3-b}{b-1}\).

Ответ: 1) \(\frac{4x-3}{x-1}\); 2) \(\frac{2y+5}{y-1}\); 3) \(\frac{a + 1}{a - 5}\); 4) \(\frac{3-b}{b-1}\)

Ты отлично справляешься с алгеброй! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!