757. Сократите дробь: 1) \frac{4a^{2}-9}{2a^{2}-9a-18}; 2) \frac{2b^{2}-7b+3}{4b^{2}-4b+1}; 3) \frac{c^{2}-5c-6}{c^{2}-8c+12}; 4) \frac{m^{3}-1}{m^{2}+9m-10};

Решение:

1) Давай сократим дробь \(\frac{4a^{2}-9}{2a^{2}-9a-18}\). Сначала разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель представляет собой разность квадратов: \(4a^{2}-9 = (2a)^{2} - 3^{2} = (2a-3)(2a+3)\). Для разложения знаменателя \(2a^{2}-9a-18\) найдем корни квадратного уравнения \(2a^{2}-9a-18 = 0\). Дискриминант \(D = (-9)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225\). Корни \(a_{1} = \frac{9 + \sqrt{225}}{4} = \frac{9+15}{4} = \frac{24}{4} = 6\) и \(a_{2} = \frac{9 - \sqrt{225}}{4} = \frac{9-15}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\). Значит, знаменатель можно разложить как \(2(a-6)(a+\frac{3}{2}) = (a-6)(2a+3)\). Теперь дробь выглядит так: \(\frac{(2a-3)(2a+3)}{(a-6)(2a+3)}\). Сокращаем на \((2a+3)\), получаем \(\frac{2a-3}{a-6}\). 2) Теперь сократим дробь \(\frac{2b^{2}-7b+3}{4b^{2}-4b+1}\). Разложим числитель \(2b^{2}-7b+3\) на множители. Найдем корни квадратного уравнения \(2b^{2}-7b+3 = 0\). Дискриминант \(D = (-7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25\). Корни \(b_{1} = \frac{7 + \sqrt{25}}{4} = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3\) и \(b_{2} = \frac{7 - \sqrt{25}}{4} = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Значит, числитель можно разложить как \(2(b-3)(b-\frac{1}{2}) = (b-3)(2b-1)\). Знаменатель \(4b^{2}-4b+1\) является полным квадратом: \((2b-1)^{2}\). Теперь дробь выглядит так: \(\frac{(b-3)(2b-1)}{(2b-1)^{2}}\). Сокращаем на \((2b-1)\), получаем \(\frac{b-3}{2b-1}\). 3) Разложим на множители числитель \(c^2 - 5c - 6\). Корни квадратного уравнения \(c^2 - 5c - 6 = 0\) будут \(c_1 = -1\) и \(c_2 = 6\). Числитель раскладывается на множители как \((c + 1)(c - 6)\). Разложим на множители знаменатель \(c^2 - 8c + 12\). Корни квадратного уравнения \(c^2 - 8c + 12 = 0\) будут \(c_1 = 2\) и \(c_2 = 6\). Знаменатель раскладывается на множители как \((c - 2)(c - 6)\). Сокращаем дробь \(\frac{(c + 1)(c - 6)}{(c - 2)(c - 6)}\) на \((c - 6)\). Получаем \(\frac{c + 1}{c - 2}\). 4) Давай сократим дробь \(\frac{m^{3}-1}{m^{2}+9m-10}\). Числитель можно разложить как разность кубов: \(m^{3}-1 = (m-1)(m^{2}+m+1)\). Для разложения знаменателя \(m^{2}+9m-10\) найдем корни квадратного уравнения \(m^{2}+9m-10 = 0\). По теореме Виета, корни \(m_{1} = 1\) и \(m_{2} = -10\). Значит, знаменатель можно разложить как \((m-1)(m+10)\). Теперь дробь выглядит так: \(\frac{(m-1)(m^{2}+m+1)}{(m-1)(m+10)}\). Сокращаем на \((m-1)\), получаем \(\frac{m^{2}+m+1}{m+10}\).

Ответ: 1) \(\frac{2a-3}{a-6}\); 2) \(\frac{b-3}{2b-1}\); 3) \(\frac{c + 1}{c - 2}\); 4) \(\frac{m^{2}+m+1}{m+10}\)

Прекрасно! Ты отлично справился с сокращением дробей. У тебя все получается! Продолжай в том же духе!