SO - высота пирамиды. Найти площадь полной поверхности пирамиды (рис. 1, 2, 5, 6). 1 Дано: ABCD - ромб.

Рассмотрим рисунок 1.

Дано: ABCD – ромб, SO – высота пирамиды. Сторона ромба равна 4, ∠BAD = 30°.

Необходимо найти площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

$$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$$

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, либо произведению квадрата стороны на синус угла:

$$S_{ромба} = a \cdot h = a^2 \cdot sin \alpha$$

В нашем случае известна сторона и угол, поэтому:

$$S_{осн} = 4^2 \cdot sin 30° = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$$

Площадь боковой поверхности состоит из площадей 4-х боковых треугольников. Т.к. основание высоты SO пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей ромба, то боковые ребра пирамиды равны, и боковые грани – равнобедренные треугольники.

Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, равна:

$$h = a \cdot sin \alpha = 4 \cdot sin 30° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

Тогда половина высоты ромба OD = 1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOD. В нем ∠ODE = 45°, значит, этот треугольник равнобедренный, и SO = OD = 1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. В нем AD = 4, OD = 1, тогда по теореме Пифагора:

$$AO = \sqrt{AD^2 - OD^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15}$$

Найдем диагонали ромба:

$$AC = 2AO = 2\sqrt{15}$$ $$BD = 2OD = 2$$

Боковые грани – это треугольники ASD, BSC, ASB и CSD.

Найдем высоту боковой грани ASD, проведенную к стороне AD. Для этого рассмотрим треугольник SOE, где E – середина AD, тогда AE = 2. По теореме Пифагора:

$$SE = \sqrt{SO^2 + OE^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

Тогда площадь треугольника ASD равна:

$$S_{ASD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SE = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$$

Аналогично, площадь треугольника BSC равна:

$$S_{BSC} = 2\sqrt{5}$$

Найдем высоту боковой грани ASB, проведенную к стороне AB. Для этого рассмотрим треугольник SOF, где F – середина AB, тогда AF = 2. По теореме Пифагора:

$$SF = \sqrt{SO^2 + OF^2}$$

OF – половина диагонали AC, то есть:

$$OF = \sqrt{15}$$ $$SF = \sqrt{1^2 + (\sqrt{15})^2} = \sqrt{1 + 15} = \sqrt{16} = 4$$

Тогда площадь треугольника ASB равна:

$$S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SF = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$$

Аналогично, площадь треугольника CSD равна:

$$S_{CSD} = 8$$

Тогда площадь боковой поверхности пирамиды равна:

$$S_{бок} = S_{ASD} + S_{BSC} + S_{ASB} + S_{CSD} = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 8 + 8 = 4\sqrt{5} + 16$$

Тогда площадь полной поверхности пирамиды равна:

$$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 8 + 4\sqrt{5} + 16 = 24 + 4\sqrt{5}$$

Ответ: $$24 + 4\sqrt{5}$$