Дано: АВ = 5√3, ∠ACB = 150°. Найти SO.

Рассмотрим рисунок 3.

Дано: AB = $$5\sqrt{3}$$, ∠ACB = 150°. SO – высота пирамиды. Основание высоты проецируется в середину стороны AB.

Необходимо найти SO.

Т.к. основание высоты проецируется в середину стороны AB, то треугольник ABC – равнобедренный, AC = BC.

Сумма углов треугольника равна 180°, значит, ∠CAB = ∠CBA = (180° - 150°)/2 = 15°.

Высота CO является медианой и биссектрисой. Тогда ∠ACO = 150°/2 = 75°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACO. В нем ∠CAO = 15°, ∠ACO = 75°.

Используем теорему синусов:

$$\frac{AB}{sin ∠ACB} = \frac{AC}{sin ∠ABC}$$ $$\frac{5\sqrt{3}}{sin 150°} = \frac{AC}{sin 15°}$$ $$AC = \frac{5\sqrt{3} \cdot sin 15°}{sin 150°}$$

sin 150° = sin (180° - 30°) = sin 30° = 1/2

sin 15° = sin (45° - 30°) = sin 45° \cdot cos 30° - cos 45° \cdot sin 30° = $$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$ $$AC = \frac{5\sqrt{3} \cdot (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})}{\frac{1}{2}} = \frac{5\sqrt{3} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} = \frac{5\sqrt{18} - 5\sqrt{6}}{2} = \frac{15\sqrt{2} - 5\sqrt{6}}{2}$$

AO = AB/2 = $$\frac{5\sqrt{3}}{2}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ASO. В нем ∠SAO = 30°. Тогда:

$$tg 30° = \frac{SO}{AO}$$ $$SO = AO \cdot tg 30° = \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5}{2} = 2.5$$

Ответ: 2,5