481. sin(x+π/6) + +cos(x-π/6)=0.

481. $$sin(x + \frac{\pi}{6}) + cos(x - \frac{\pi}{6}) = 0$$

Вспомним формулу: $$cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$$, тогда:

$$sin(x + \frac{\pi}{6}) + sin(\frac{\pi}{2} - (x - \frac{\pi}{6})) = 0$$

$$sin(x + \frac{\pi}{6}) + sin(\frac{\pi}{2} - x + \frac{\pi}{6}) = 0$$

$$sin(x + \frac{\pi}{6}) + sin(\frac{2\pi}{3} - x) = 0$$

Преобразуем сумму синусов в произведение:

$$2sin(\frac{x + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} - x}{2})cos(\frac{x + \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} + x}{2}) = 0$$

$$2sin(\frac{\frac{5\pi}{6}}{2})cos(\frac{2x - \frac{3\pi}{6}}{2}) = 0$$

$$2sin(\frac{5\pi}{12})cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

Так как $$sin(\frac{5\pi}{12}) != 0$$, то:

$$cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0$$

$$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$$

$$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$$

$$x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in Z$$

Ответ: $$x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in Z$$