Сформулируйте и докажите утверждение о признаке прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Решение:

Утверждение (Признак прямоугольного треугольника): Если в треугольнике гипотенуза равна удвоенному одному из катетов, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.

Доказательство:

1. Пусть дан треугольник ABC, где гипотенуза AB = 2 * BC (BC — катет).
2. По теореме о катете, лежащем против угла в 30°, мы знаем, что если катет равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.
3. В нашем случае катет BC равен половине гипотенузы AB. Следовательно, угол, противолежащий катету BC, то есть угол ∠BAC, равен 30°.
4. Так как треугольник прямоугольный (∠C = 90°), и один из острых углов (∠BAC) равен 30°, то второй острый угол ∠ABC = 180° - 90° - 30° = 60°.

Следствие (обратное утверждение): Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30°, то противолежащий ему катет равен половине гипотенузы.

Доказательство следствия:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, и ∠BAC = 30°.
2. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠ABC = 180° - 90° - 30° = 60°.
3. Рассмотрим треугольник ABC. Мы можем использовать тригонометрию:
• $$\\( oldsymbol{sin} A = \\[ \frac{BC}{AB} \\] )$$
• $$\\( \boldsymbol{sin} 30° = \\[ \frac{BC}{AB} \\] )$$
• Мы знаем, что $$\\( \boldsymbol{sin} 30° = 1/2 \\)$$.
• Следовательно, $$\\( \boldsymbol{1/2} = \\[ \frac{BC}{AB} \\] )$$, что означает BC = AB/2.

Таким образом, если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30°, то противолежащий ему катет равен половине гипотенузы.

Ответ: Утверждение и его следствие доказаны.