Сформулируйте и докажите утверждение о признаке прямоугольных треугольников по гипотенузе и остр.

Решение:

Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике один из углов равен 90°, то этот треугольник является прямоугольным.

Доказательство:

1. Пусть дан треугольник ABC, в котором угол ∠C = 90°.
2. По определению, прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90°).
3. Поскольку в треугольнике ABC есть прямой угол ∠C, то по определению этот треугольник является прямоугольным.

Примечание: Этот признак является определением прямоугольного треугольника, поэтому доказательство тривиально.

Альтернативный признак (связанный с гипотенузой и острым углом, как в задании 11):

Утверждение: Если в треугольнике один из углов равен 30°, а противолежащий ему катет равен половине одной из сторон, то этот треугольник прямоугольный.

Доказательство (обратное к задаче 11):

1. Пусть в треугольнике ABC ∠A = 30° и сторона BC = 1/2 AB.
2. Рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°.
3. Если бы треугольник ABC не был прямоугольным, то ∠C ≠ 90°.
4. Но мы знаем, что если катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы, то этот угол 30°. И наоборот, если угол равен 30°, то противолежащий катет равен половине гипотенузы.
5. У нас есть угол 30° (∠A) и катет BC, который, согласно теореме из предыдущего вопроса, должен быть равен половине гипотенузы AB, если угол C прямой.
6. Если мы предположим, что ∠C не равен 90°, а, например, ∠C = 100°, то ∠B = 180 - 100 - 30 = 50°. В этом случае BC не будет равен половине AB.
7. Таким образом, единственное условие, при котором BC = 1/2 AB и ∠A = 30°, это если ∠C = 90°.

Вывод: Треугольник, в котором катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы, является прямоугольным.