Сформулируйте и докажите теорему о средней линии тре- угольника.

Теорема о средней линии треугольника утверждает, что средняя линия треугольника, то есть отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Доказательство: 1. Обозначим треугольник как \(ABC\), где \(M\) и \(N\) - середины сторон \(AB\) и \(AC\) соответственно. Отрезок \(MN\) является средней линией. 2. Проведем прямую, параллельную стороне \(BC\), через точку \(A\). Продлим отрезок \(MN\) до пересечения с этой прямой в точке \(D\). 3. Рассмотрим треугольники \(AMN\) и \(ADN\). Угол \(\angle MAN\) является общим. Так как \(MN\) параллельна \(BC\), то угол \(\angle AMN\) равен углу \(\angle ABC\) как соответственные углы при параллельных прямых. Аналогично, угол \(\angle ANM\) равен углу \(\angle ACB\). 4. Поскольку \(M\) и \(N\) - середины сторон, то \(AM = \frac{1}{2}AB\) и \(AN = \frac{1}{2}AC\). 5. Треугольники \(AMN\) и \(ADN\) подобны по двум углам (угол \(\angle MAN\) общий, и углы при вершинах \(M\) и \(N\) соответственно равны углам при вершинах \(B\) и \(C\)). 6. Из подобия следует, что \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\). Поскольку \(AM = \frac{1}{2}AB\) и \(AN = \frac{1}{2}AC\), то \(\frac{MN}{BC} = \frac{1}{2}\). 7. Таким образом, \(MN = \frac{1}{2}BC\), что и требовалось доказать. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.

Ответ: Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Ответ: Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.