11. Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. **Формулировка теоремы о пропорциональных отрезках:** В прямоугольном треугольнике: 1. Квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $$h^2 = a' * b'$$. 2. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: $$a^2 = c * a'$$ и $$b^2 = c * b'$$. **Доказательство:** Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть CH - высота, проведенная из вершины C к гипотенузе AB. Обозначим AH = a', BH = b', CH = h, AC = b, BC = a, AB = c. 1. Треугольники ACH и CBH подобны (оба прямоугольные и угол CAH = угол BCH, так как оба дополняют угол ABC до 90 градусов). Из подобия следует пропорция: $$AH/CH = CH/BH$$, то есть $$a'/h = h/b'$$, откуда $$h^2 = a' * b'$$. 2. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC (оба прямоугольные и угол A общий). Из подобия следует пропорция: $$AH/AC = AC/AB$$, то есть $$a'/b = b/c$$, откуда $$b^2 = c * a'$$. 3. Треугольник CBH подобен треугольнику ABC (оба прямоугольные и угол B общий). Из подобия следует пропорция: $$BH/BC = BC/AB$$, то есть $$b'/a = a/c$$, откуда $$a^2 = c * b'$$.